相关系数差异性检验¶
未校正偏倚¶
\[
\begin{align}
H_0 & : \rho = \rho_0 \\
H_1 & : \rho \neq \rho_0
\end{align}
\]
对样本相关系数 \(\hat{\rho}\) 做 Fisher's z 转换：
\[
\hat{\zeta} = \operatorname{arctanh}\hat{\rho} = \frac{1}{2} \ln{\frac{1+\hat{\rho}}{1-\hat{\rho}}}
\]
在 \(H_0\) 成立时，\(\hat{\zeta}\) 近似服从正态分布：
\[
\hat{\zeta} \sim N\left(\zeta_0,\ \frac{1}{n-3}\right)
\]
其中：
\[
\zeta_0 = \frac{1}{2} \ln{\frac{1+\rho_0}{1-\rho_0}} \tag{1}
\]
那么：
\[
E(\hat{\zeta} - \zeta_0) = E(\hat{\zeta}) - \zeta_0 = \zeta_0 - \zeta_0 = 0
\]
\[
Var(\hat{\zeta} - \zeta_0) = Var(\hat{\zeta}) - 0 = \frac{1}{n-3}
\]
构建 \(z\) 统计量：
\[
z = \frac{\hat{\zeta} - \zeta_0}{1/\sqrt{n-3}} = \left(\hat{\zeta} - \zeta_0\right) \sqrt{n-3} \sim N(0, 1)
\]
在 \(H_1\) 成立时，\(\hat{\zeta}\) 近似服从正态分布：
\[
\hat{\zeta} \sim N\left(\zeta_1,\ \frac{1}{n-3}\right)
\]
其中：
\[
\zeta_1 = \frac{1}{2} \ln{\frac{1+\rho_1}{1-\rho_1}} \tag{2}
\]
构建 \(z'\) 统计量：
\[
z' = \frac{\hat{\zeta} - \zeta_0}{1/\sqrt{n-3}} = \left(\hat{\zeta} - \zeta_0\right) \sqrt{n-3}
\]
根据大数定律和连续映射定理，当 \(n\) 较大时，\(\hat{\zeta}\) 满足：
\[
\hat{\zeta} \xrightarrow{p} \zeta_1
\]
进而有：
\[
\left(\hat{\zeta} - \zeta_0\right) \sqrt{n-3} = \left(\hat{\zeta} - \zeta_1\right) \sqrt{n-3} + \left(\zeta_1 - \zeta_0\right) \sqrt{n-3} \xrightarrow{d} N\left(\left(\zeta_1 - \zeta_0\right) \sqrt{n-3}, 1\right)
\]
计算检验效能：
\[
\begin{aligned}
P\left( \left| z' \right| > z_{1-\alpha/2} \right) \approx 1 - \Phi\left( z_{1-\alpha/2} - \left|\zeta_1 - \zeta_0\right| \sqrt{n-3} \right) = 1 - \beta
\end{aligned}
\]
根据标准正态分布分位数的定义：
\[
z_{1-\alpha/2} - \left|\zeta_1 - \zeta_0\right| \sqrt{n-3} = z_{\beta}
\]
可解出：
\[
n = \frac{\left(z_{1-\alpha/2} + z_{1-\beta}\right)^2}{\left(\zeta_1 - \zeta_0\right)^2} + 3
\]
代入 \((1)\) 和 \((2)\)，得：
\[
n = 4 \left( \frac{z_{1-\alpha/2} + z_{1-\beta}}{\ln{\frac{\left(1+\rho_1\right) \left(1-\rho_0\right)}{\left(1-\rho_1\right) \left(1+\rho_0\right)}}} \right)^2+ 3
\]
校正偏倚¶
在 \(H_0\) 成立时，\(\hat{\zeta}\) 近似服从正态分布：
\[
\hat{\zeta} \sim N\left(\zeta_0 + \frac{\rho_0}{2(n-1)},\ \frac{1}{n-3}\right)
\]
构建 \(z\) 统计量：
\[
z = \frac{\hat{\zeta} - \zeta_0 - \frac{\rho_0}{2(n-1)}}{1/\sqrt{n-3}} = \left(\hat{\zeta} - \zeta_0 - \frac{\rho_0}{2(n-1)}\right) \sqrt{n-3} \sim N(0, 1)
\]
在 \(H_1\) 成立时，\(\hat{\zeta}\) 近似服从正态分布：
\[
\hat{\zeta} \sim N\left(\zeta_1 + \frac{\rho_1}{2(n-1)},\ \frac{1}{n-3}\right)
\]
构建 \(z'\) 统计量：
\[
z' = \frac{\hat{\zeta} - \zeta_0 - \frac{\rho_0}{2(n-1)}}{1/\sqrt{n-3}} = \left(\hat{\zeta} - \zeta_0 - \frac{\rho_0}{2(n-1)}\right) \sqrt{n-3}
\]
根据大数定律和连续映射定理，当 \(n\) 较大时，\(\hat{\zeta}\) 满足：
\[
\hat{\zeta} \xrightarrow{p} \zeta_1
\]
进而有：
\[
z' = \left(\hat{\zeta} - \zeta_1 - \frac{\rho_1}{2(n-1)}\right) \sqrt{n-3} + \left(\zeta_1 - \zeta_0 + \frac{\rho_1 - \rho_0}{2(n-1)}\right) \sqrt{n-3} \xrightarrow{d} N\left(\left(\zeta_1 - \zeta_0 + \frac{\rho_1 - \rho_0}{2(n-1)}\right) \sqrt{n-3}, 1\right)
\]
计算检验效能：
\[
\begin{aligned}
P\left( \left| z' \right| > z_{1-\alpha/2} \right) \approx 1 - \Phi\left( z_{1-\alpha/2} - \left( \left|\zeta_1 - \zeta_0\right| + \frac{\left|\rho_1 - \rho_0\right|}{2(n-1)} \right) \sqrt{n-3} \right) = 1 - \beta
\end{aligned}
\]
可使用数值方法解出样本量。